面向无限维贝叶斯非线性反问题的快速可扩展 A-最优实验设计方法

我们研究由偏微分方程（PDE）控制的贝叶斯非线性反问题的最优实验设计（OED）问题。目标是找到传感器放置位置（即实验数据采集点），以最小化推断参数场的不确定性。我们通过推广经典的 A-最优实验设计准则，利用后验协方差迹的期望值来构建 OED 目标函数。我们寻求一种方法，其求解 OED 问题的成本（以前向 PDE 求解次数衡量）与参数维度和传感器维度均无关。为实现这一点，我们在最大后验概率（MAP）点构造后验的高斯近似，并使用所得的协方差算子定义 OED 目标函数。我们采用随机迹估计来计算该（隐式定义的）协方差算子的迹。由此产生的 OED 问题包含表征 MAP 点的 PDE 以及描述协方差算子对向量作用的 PDE 作为约束。传感器配置的稀疏性通过稀疏化惩罚函数来控制。我们针对确定传感器放置以最佳推断椭圆型 PDE 系数的问题，详细阐述了我们的 OED 方法。伴随方法用于计算受 PDE 约束的 OED 目标函数的梯度。我们提供了多孔介质渗流问题中渗透率场推断的数值结果，并证明评估 OED 目标函数及其梯度所需的 PDE 求解次数本质上与参数维度和传感器维度均无关。用于计算 OED 的拟牛顿迭代次数也表现出相同的维度不变性。