一族 $C^1$ 四边形有限元

我们提出了一族新的 $C^1$ 四边形有限元，它们在具有任意价顶点的一般四边形网格上定义全局 $C^1$ 空间。该元素将 (Brenner and Sung, J. Sci. Comput., 2005) 基于张量积阶 $p\geq 6$ 的多项式元素的构造扩展到了所有阶 $p \geq 3$。因此，我们将这族 $C^1$ 有限元称为 Brenner-Sung 四边形。所提出的 $C^1$ 四边形可以看作是 (Kapl, Sangalli and Takacs, CAGD, 2019) 的 Argyris 等几何元素的一个特例。该四边形元素具有与经典 Argyris 三角形类似的自由度。与 Argyris 三角形一样，我们额外在顶点处施加 $C^2$ 连续性。在本文中，我们关注较低阶的情况，这可能是由于其计算成本较低且基的病态条件更好：我们确实考虑了（双）阶为 $5$ 的多项式四边形，以及通过分别将其拆分为 $3\times3$ 或 $2\times2$ 多项式片段而得到的 $p=3$ 和 $p=4$ 阶多项式。所提出的元素再现了总阶为 $p$ 的多项式。我们证明了该空间提供了最优逼近阶。由于插值性质，误差界在每个元素上是局部的。此外，我们描述了一个简单的局部基的构造，并给出了 $p\in\{3,4,5\}$ 时基函数的 B\'{e}zier 或 B 样条系数的显式公式。通过求解双调和方程的数值实验，证明了所提出的 $C^1$ 四边形有限元在四阶问题数值分析中的潜力，也表明（对于 $p=5$）就自由度数量而言，所提出的元素与 Argyris 三角形相比表现相当，甚至总体上更好。