Caffarelli收缩定理的一个与维数无关的插值

我们证明了$\mathbb{R}^n$上概率测度之间Brenier映射的全局Lipschitz估计，这些测度的密度属于族 $$\rho_{U,\,p}=Z_{U,\, p}^{-1}\exp(-\Theta_p(U)), \qquad \Theta_p(t)=p\log\Bigl(1+\frac{t}{p}\Bigr), \qquad p\in[n,+\infty],$$ 其中归一化常数$Z_{U,\, p}$有限，并约定$\Theta_{\infty}(t)=t$。我们允许源测度和目标测度具有不同的参数$d,D\in[n,+\infty]$，且$d\le D$。我们的全局估计关于$n,d,D$是一致的，并且在$d=D<+\infty$的情况下，它改进了arXiv:2404.05456中的界，消除了它们对维数的指数依赖。我们还证明了固定球$B_R$内部的局部估计，其常数在极限$d,D\to+\infty$下是稳定的，并且这些估计使我们能够恢复Caffarelli著名的收缩定理及其精确常数。