一种用于计算狄利克雷划分的扩散生成方法

闭 $d$ 维曲面的狄利克雷 $k$-划分是指 $k$ 个两两不相交开子集的集合，使得它们的首个 Laplace-Beltrami-Dirichlet 特征值之和最小。本文中，我们开发了一种简单高效的扩散生成方法，用于计算 $d$ 维平环面与球面上的狄利克雷 $k$-划分。对于 $2d$ 平环面，在多数 $k=3$-9,11,12,15,16,20$的取值下，我们得到了六边形蜂巢结构。对于$3d$平环面及$k=2,4,8,16$，我们得到了菱形十二面体蜂巢、Weaire-Phelan 蜂巢以及截角八面体构成的 Kelvin 镶嵌。对于$4d$平环面，$k=4$时我们得到沿第四方向恒定延伸的菱形十二面体蜂巢，$k=8$时得到 24-胞蜂巢。对于$2d$球面，我们还计算了$k=3$-7,9,10,12,14,20$ 的狄利克雷划分。我们的计算结果在与已有研究可比较时与之相符。据我们所知，这些是 $4d$ 平环面狄利克雷划分的首个公开发表结果。