Favard定理的微分类比

Favard定理刻画了函数基$\{p_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+}$，使得对所有$n \geq 0$（约定$p_{0}\equiv1$，且$p_{-1}\equiv 0$），$x p_n(x)$是$p_{n-1}(x)$、$p_n(x)$和$p_{n+1}(x)$的线性组合。在本文中，我们探讨该定理的微分类比，即函数基$\{\varphi_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+}$，使得对所有$n \geq 0$（给定$\varphi_{0}(x)$，且约定$\varphi_{-1}\equiv 0$），$\varphi_n'(x)$是$\varphi_{n-1}(x)$、$\varphi_n(x)$和$\varphi_{n+1}(x)$的线性组合。我们回答了关于此类函数的正交性和完备性的问题，给出了刻画结果，并且当然也提供了大量例子并列出了进一步研究的挑战。这项工作的动机源于微分方程的数值求解，特别是谱方法，其产生了高度结构化的矩阵以及针对演化偏微分方程的按设计稳定的方法。然而，我们相信该理论本身具有意义，因为它在正交多项式、傅里叶分析和Paley--Wiener空间之间有着有趣的联系，并由此产生了不同特殊函数族之间的恒等式。