通过预三角 dg 范畴间的 $A_{\infty}$-函子对射影空间 Fourier-Mukai 变换的一种构造性方法

我们讨论如下问题：任意两个维数分别为 $a$ 和 $b$ 的射影空间的上有界导出范畴之间的 Fourier-Mukai 变换 $\phi: \mathrm{D}^{\mathrm{b}}( \mathbb{P}^a ) \rightarrow \mathrm{D}^{\mathrm{b}}( \mathbb{P}^b )$ 如何以显式项表示为由线丛的完全强例外序列 $\mathbb{B}^a = \{\mathcal{O}(-a), \dots, \mathcal{O}\}$ 和 $\mathbb{B}^b = \{\mathcal{O}(-b), \dots, \mathcal{O}\}$ 生成的同伦范畴 $\mathrm{K}^{\mathrm{b}}( \mathbb{B}^a ) \rightarrow \mathrm{K}^{\mathrm{b}}( \mathbb{B}^b )$ 之间的正合函子？我们证明该问题可归约为如下与任何给定的 Fourier-Mukai 核无关的任务：以显式项寻找一个 $A_{\infty}$-函子 $P$，其在同伦范畴上诱导的函子给出 $\{ \mathcal{O}(i) \boxtimes \mathcal{O}(j) \mid i = -2a, \dots, 0, ~~j = -2b, \dots 0 \}$ 到 $\mathrm{D}^{\mathrm{b}}( \mathbb{P}^{a} \times \mathbb{P}^{b})$ 的嵌入。作为我们的主要技术工具，我们给出了从 dg 范畴 $\mathbf{A}$ 到预三角 dg 范畴 $\mathbf{B}$ 的 $A_{\infty}$-函子 $F: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ 提升到由预三角包络的泛性质给出的 $\mathbf{A}$ 的预三角包络的显式公式。作为该工具的进一步应用，我们给出了三角范畴之间两个在非同构但于由完全强例外序列生成的完全子范畴上一致的正合函子的简单例子。