宇宙学光锥的一个比较定理

令$(M, g)$表示一个宇宙学时空，描述在大尺度上各向同性且均匀、但在小尺度上高度不均匀的宇宙的演化。我们考虑两个过去光锥：第一个$\mathcal{C}^-_L(p, g)$与物理观测者$p\in\,M$相关联，该观测者在长度尺度$L$上描述$(M, g)$的实际物理时空几何；第二个$\mathcal{C}^-_L(p, \hat{g})$与一个理想化的观测者$p$相关联，该观测者尽管在给定尺度$L$上存在局部不均匀性，仍希望用Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker时空族中的成员$(M, \hat{g})$来建模$(M, g)$。在此框架下，我们讨论若干数学结果，得以对两个光锥$\mathcal{C}^-_L(p, g)$与$\mathcal{C}^-_L(p, \hat{g})$进行严格比较。特别地，我们引入一个尺度依赖($L$)的光锥比较泛函，由调和型能量定义，并与物理$\mathcal{C}^-_L(p, g)$和FLRW参考光锥$\mathcal{C}^-_L(p, \hat{g})$之间的自然映射相关联。该泛函具有若干显著性质，尤其是当且仅当在给定长度尺度上相应的光锥曲面截面（天球）等距时它为零。我们详细讨论其变分分析，并证明存在一个极小值，刻画了两个光锥之间自然的尺度依赖距离泛函。我们还指出如何将结果推广到物理过去光锥$\mathcal{C}^-_L(p, g)$上出现焦散的情形。最后，我们展示该距离泛函如何与两个光锥因果过去中的时空标量曲率相关，并简要说明其若干可能应用。