最优速率线性同态秘密共享方案的刻画及其应用

同态秘密共享（HSS）方案是一种秘密共享方案，它在 $s$ 个服务器之间共享秘密 $x$，并且额外允许输出客户端使用每个服务器可在本地计算的信息来重构某个函数 $f(x)$。HSS 方案中的一个关键参数是下载速率，它量化了输出客户端需要从每个服务器下载多少信息。最近的工作（Fosli, Ishai, Kolobov, and Wootters, ITCS 2022）确立了用于计算低次多项式的线性 HSS 方案下载速率的基本限制，并给出了达到该限制的 HSS 方案示例。在本文中，我们进一步探索用于多项式的最优速率线性 HSS 方案。我们的主要结果是对此类方案的完整刻画，用我们引入的一个编码理论概念，称为最优标签权重码（optimal label-weight code）。我们利用该刻画来回答关于达到最优下载速率的 HSS 方案所需摊销的开放问题。更详细地，Fosli 等人的构造需要在问题的 $\ell$ 个实例上摊销，且只适用于特定的 $\ell$ 值。我们表明——或许令人惊讶——他们的构造适用的 $\ell$ 集合实际上近乎最优，可能仅遗漏一个额外的 $\ell$ 值。我们通过使用我们的编码理论刻画来证明承认最优速率线性 HSS 方案的 $\ell$ 的必要条件。然后我们给出了一个稍作改进的最优速率线性 HSS 方案构造，其中允许的 $\ell$ 集合在更多参数设置下是最优的。此外，基于与 MDS 猜想的联系，我们猜想我们的构造在所有参数区间上都是最优的。