通过代数指数刻画李代数

在本文中，我们通过代数指数（algebraic exponentiation，由 Gray 在其博士论文中引入的概念）来描述李代数的簇。对于特征不为 $2$ 的无限域 $\mathbb{K}$，我们证明：在 $\mathbb{K}$ 上的非结合 $\mathbb{K}$-代数簇中，李代数簇是唯一一个非阿贝尔局部代数笛卡尔闭（LACC）范畴的簇。更一般地，一个 $n$-代数簇 $\mathcal{V}$ 是非阿贝尔（LACC）范畴当且仅当 $n=2$ 且 $\mathcal{V}=\mathsf{Lie}_\mathbb{K}$。在特征 $2$ 的情形下情况类似，但此处我们必须分别处理恒等式 $xx=0$ 与 $xy=-yx$，因为它们各自给出一个非阿贝尔（LACC）范畴的非结合 $\mathbb{K}$-代数簇。