二维与三维空间中三角形面积的极值问题

关于三角形面积极值问题的研究始于 20 世纪 70 年代初 Erd\H{o}s 和 Purdy 的一系列论文。本文提出了此类问题的新结果，涉及平面和三维空间中由有限点集张成的同面积三角形数量，以及由这些三角形确定的不同面积的数量。在平面情形下，我们的主要结果是给出了由 $n$ 个点张成的单位面积三角形数量的 $O(n^{44/19}) =O(n^{2.3158})$ 上界，这是自 1992 年以来对经典 $O(n^{7/3})$ 界的首次突破。我们在若干重要特例中也取得了进展：(i) 对于凸位置的点集，存在 $n$ 元点集张成 $\Omega(n\log n)$ 个单位面积三角形。(ii) 由 $n$ 个点确定的最小（非零）面积三角形数量至多为 ${2/3}(n^2-n)$；存在 $n$ 元点集（对于任意大的 $n$）张成 $(6/\pi^2-o(1))n^2$ 个最小面积三角形。(iii) 由 $n$ 个点确定的最小面积锐角三角形数量为 $O(n)$；这是渐近紧的。(iv) 对于凸位置的 $n$ 个点，最小面积三角形数量为 $O(n)$；这是渐近紧的。(v) 若不允许三点共线，则存在 $n$ 元点集张成 $\Omega(n\log n)$ 个最小面积三角形（这与允许共线且存在二次下界的 (ii) 形成对比）。在三维空间中，我们证明了由 $n$ 个点张成的单位面积三角形数量的上界为 $O(n^{17/7}\beta(n))= O(n^{2.4286})$，其中 $\beta(n)$ 是一个与逆 Ackermann 函数相关的增长极慢的函数。此前的最佳上界 $O(n^{8/3})$ 是 1971 年的一个旧结果。