关于二项式系数的一些新同余式

本文建立了一些涉及中心二项式系数以及 Catalan 数的新同余式。设 $p$ 为素数，$a$ 为任意正整数。我们确定了 $d=0,...,p^a$ 时 $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ 模 $p^2$ 的值，以及 $\delta=0,1$ 时 $\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+\delta}$ 模 $p^3$ 的值。我们还证明了对于每个 $n=0,1,2,...$，有 $$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$，其中 $C_m$ 是 Catalan 数 $\binom{2m}{m}/(m+1)$，而 (-) 是 Legendre 符号。