偏序集中的排序与选择

经典的排序与搜索问题假设被比较对象之间存在潜在的线性序。在本文中，我们研究了一种更一般的情形，其中某些对象对是不可比的。这种推广在与体育排名、大学招生或会议投稿相关的应用中具有意义。它在生物学中也有潜在应用，例如比较不同菌株细菌的进化适应性，或理解一组代谢反应中的输入输出关系，或一组相互作用基因或蛋白质之间的因果影响。我们的结果改进并扩展了 Faigle 和 Turán 二十年前的结果。偏序集 (poset) 复杂度的一个度量是其宽度。我们的算法通过比较两个元素的查询来获取关于偏序集的信息。我们提出了一种算法，能够对大小为 n、宽度为 w 的偏序集进行排序（即完全识别），其查询复杂度为 O(wn + nlog(n))，这与信息论下界仅相差一个常数因子。我们还表明，Mergesort 的一种变体具有 O(wn(log(n/w))) 的查询复杂度和 O((w^2)nlog(n/w)) 的总复杂度。Faigle 和 Turán 已证明排序问题的查询复杂度为 O(wn(log(n/w)))，但未涉及其总复杂度。对于确定偏序集最小元素的相关问题，我们给出了高效的确定性和随机算法，其查询和总复杂度均为 O(wn)，并给出了直至因子 2 的匹配查询复杂度下界。我们将这些结果推广到确定高度至多为 k 的元素的 k-选择问题。我们还推导了其他一些类似问题的总复杂度上界。