关于二分多图的鲍曼数

对完全二分图的着色若满足：为边 (u, v) 和 (u', v') 指定颜色 c，即强制为边 (u, v') 和 (u', v) 也指定相同颜色，则称该着色是_shuffle-保存的。（用通俗的话说，就是说以颜色 c 为界的诱导子图是完整的。）本文研究了完全二分多图（即允许多条边但不允许自环的图）上的鲍曼问题的一个变体。与鲍曼理论中通常的 m 着色方案不同，后者对图中允许的颜色总数施加限制（即 m），我们引入一种松弛版称为 m_局部着色，仅要求对每个顶点 v，其 incident 边关联的颜色数受 m 的限制。注意，在 m_局部着色下，图中出现的颜色数可能超过 m。我们证明，对任意 n × n 大小的完全二分多图 G，每个_shuffle-保存的 m_局部着色都会在 2(p-1)(m-1) < n 时显示出单色 K_{p,p}。当 (i) m=2，或 (ii) n=2^k 且 m=3·2^{k-2}（其中 k≥2 为整数）时，上述界限是紧的。关于下界 p，我们指出，当 p > ⌈n/m⌉ 时，单色 K_{p,p} 的存在并不能得到保证。最后，我们给出了对 k 部图的推广以及适用于一般图的方法。许多在 m_局部着色中得到的结论可推广到 m_着色的类似结果。