半环语义下的一阶逻辑零一律与几乎必然赋值

半环语义通过在某个交换半环 K 中的值来评估逻辑语句。由 K 上的概率分布诱导的随机半环解释推广了随机结构，我们在此研究关于随机结构上的一阶逻辑经典结果（最重要的是 Glebskii 等人及 Fagin 的 0-1 律）如何推广到半环语义的问题。对于正半环，经典 0-1 律意味着每个一阶语句渐近地要么被随机半环解释几乎必然求值为 0，要么几乎必然只取非零值。然而，借助基于适当扩张性质和一阶公式代数表示的更精细分析，我们可以证明强得多的结果。对于许多半环 K，一阶语句可被划分为对所有半环值 j ∈ K 的类 F(j)，使得 F(j) 中的每个语句在随机半环解释下几乎必然求值为 j。进一步，对于有限或无限格半环，该划分实际上坍缩为仅三个类 F(0)、F(1) 和 F(e)，这些语句分别几乎必然求值为 0、1 和最小非零值 e。在有限格半环上计算一阶语句几乎必然赋值的问题是 PSPACE-complete。一个分析略有不同的重要半环是自然数半环。此处加法和乘法关于自然半环序均是递增的，且对自然数 j 的类 F(j) 不再覆盖所有 FO-语句，而必须扩展为几乎必然求值为无界大值的语句类。