Kahn-Kalai 边界何时提供非平凡信息？

Park-Pham 定理（此前称为 Kahn-Kalai 猜想）对非平凡性质 $p_c(\mathcal{F})$ 的临界概率进行上界估计。该性质 $\mathcal{F}\subseteq 2^X$ 闭合于超集，其上界由通用常数 $K$、性质的期望阈值 $q(\mathcal{F})$ 以及性质最大最小元素大小的对数 $\log\ell(\mathcal{F})$ 的乘积给出。也就是说，Park-Pham 定理断言 $p_c(\mathcal{F})\leq Kq(\mathcal{F})\log\ell(\mathcal{F})$。由于临界概率 $p_c(\mathcal{F})$ 永远满足 $p_c(\mathcal{F})<1$，因此可问：Kahn-Kalai 边界在何时提供比这更多的信息——即 $Kq(\mathcal{F})\log\ell(\mathcal{F}) < 1$ 是否成立。在本短文中，我们给出若干必要条件，并给出若干充分条件，使得边界能提供新的（实际上是渐进完美的）信息。在最有趣的情况下，当 $\ell(\mathcal{F}_n)\rightarrow \infty$ 时，我们证明了 Kahn-Kalai 边界提供非平凡信息的相对强大的必要条件：对于每一个正整数 $t$，所有但 $t$ 个 $\mathcal{F}_n$ 最小元素的集合至多只能在有限多个 $n$ 时具有非空交集。因此，不仅最小元素的数量必须变得任意大，覆盖集的大小也必须如此。直观地说，这意味着此类序列 $\mathcal{F}_n$ 必须在 $2^{X_n}$ 中占据一个日益扩大的“楔形”：当 $\mathcal{F}_n$ 在 $2^{X_n}$ 的某个区域上攀升时，它必须在另一个区域向下和向外扩散。