究竟什么是 $E_{\infty}$ 环空间与 $E_{\infty}$ 环谱？

$E_{\infty}$ 环谱于 1972 年被定义，但该术语此后获得了几种替代含义。几个相关术语的情况也是如此。已知新表述并不总是与旧表述等价，即使它们等价，“等价”的概念本身也需要讨论：Quillen 等价的范畴可能在相当程度上是不等价的。部分混淆源于对 $E_{\infty}$ 结构重新兴起的现代兴趣中存在的一段空白。$E_{\infty}$ 环空间同样在 1972 年被定义，且从未被重新定义。它们是早期应用的核心，并且隐含地与现代应用相联系。我们总结了旧概念与各种新概念之间的关系，解释了哪些是已知的，哪些是未知的。我们借此机会重新整理并现代化了许多早期结果。新的证明和视角贯穿全文。