对称矩阵标量函数的梯度是什么？

对涉及矩阵微积分主题的研究论文的细读揭示了两种计算对称矩阵实值函数梯度的不同方法，导致两种不同的结果。在力学与物理学界，无论自变量是否对称，均使用Fr\'echet导数定义计算梯度。然而，统计、经济与电气工程界使用了另一种显式考虑矩阵对称性的梯度概念，该“对称梯度”$G_s$被报道与针对一般矩阵由Fr\'echet导数算得的梯度$G$满足关系$G_s = G + G^T - G \circ I$，其中$\circ$表示两矩阵的逐元素Hadamard积。我们证明此关系不正确，并通过证明$G_s = \mathrm{sym}(G)$调和了这两种观点。