游走消息传递神经网络与二阶图神经网络

消息传递神经网络（MPNNs）的表达能力已知与一维 Weisfeiler-Leman 图（1-WL）同构测试的表达能力相匹配。为提升 MPNNs 的表达能力，近期已提出若干基于高维 Weisfeiler-Leman 测试的图神经网络架构。本文考虑二维（2-WL）测试，并引入一类新型 MPNNs，称为 $\ell$-游走 MPNNs，其沿顶点间长度为 $\ell$ 的游走聚合特征。我们证明 $2$-游走 MPNNs 在表达能力上与 2-WL 相匹配。更一般地，对于任意 $\ell\geq 2$，$\ell$-游走 MPNNs 被证明与近期提出的 $\ell$-游走精化过程（W[$\ell$]）具有相同的表达能力。基于 2-WL 与 W[$\ell$] 之间的对应关系，我们观察到 $\ell$-游走 MPNNs 与 $2$-游走 MPNNs 具有相同的表达能力，即它们能区分相同的图对，但 $\ell$-游走 MPNNs 可能比 $2$-游走 MPNNs 更快地区分图对。在具体的、与 2-WL 或 W[$\ell$] 表达能力匹配的、可学习的图神经网络（GNN）形式方面，我们考虑允许非线性层的二阶图神经网络。特别地，为匹配 W[$\ell$] 的表达能力，我们在每一层允许 $\ell-1$ 次矩阵乘法。我们根据特征类型（即可数集特征或不可数集特征）提出不同版本的二阶 GNN，因为这会影响表示特征所需的维数。我们的结果表明，通过允许多次矩阵乘法来增加层中的非线性并不会提升表达能力，至多只能更快地区分输入图。