环置换多面体的体积与格点计数

置换多面体的面格实现了集合 $[n]=\{1,...,n\}$ 的线性有序划分的组合结构。类似地，环置换多面体是一个虚多面体，实现了 $[n]$ 的循环有序划分的组合结构。已知标准置换多面体的体积等于具有 $n$ 个带标签顶点的树的数目乘以 $\sqrt{n}$。标准置换多面体的整数点数目等于 $n$ 个带标签顶点上的森林的数目。在本文中，我们证明环置换多面体的体积也等于某种森林的加权数目，其最终归为零。我们还推导了环置换多面体中整数点数的组合公式。本文的另一个对象是多边形连杆 $L$ 的构型空间。它有一个与环置换多面体的面格相关的胞腔分解 $\mathcal{K}(L)$。利用这一关系，我们引入并计算了体积 $Vol(\mathcal{K}(L))$。