无间隙阈值群测试的高效设计

给定 $d$ 个次品物品组成的总计 $n$ 物品的 population，其中 $d \ll n$。在无间隙阈值群测试中，对某个物品子集的测试结果为阳性当且仅当该子集至少包含 $u$ 个次品物品，为阴性否则，其中 $1 \leq u \leq d$。阈值群测试的基本目标是通过少量测试迅速识别次品物品。在非自适应设计中，所有测试独立设计，可并行执行。当前非自适应方法的解码时间为 $(d/u)^u (d/(d-u))^{d - u}$, $d$, 和 $\log{n}$ 的多项式。在本文中，我们提出了一种新型设计，显著减少测试数量和解码时间，使其为 $\min\{u^u, (d - u)^{d - u}\}, d$, 和 $\log{n}$ 的多项式。特别地，当 $u$ 为常数时，测试数量和解码时间分别为 $O(d^3 (\log^2{n}) \log{(n/d)} )$ 和 $O\big(d^3 (\log^2{n}) \log{(n/d)} + d^2 (\log{n}) \log^3{(n/d)} \big)$。对于特殊情况 $u = 2$，非自适应设计下，测试数量和解码时间分别为 $O(d^3 (\log{n}) \log{(n/d)} )$ 和 $O(d^2 (\log{n} + \log^2{(n/d)}) )$。而且，采用 2 阶段设计，测试数量和解码时间分别为 $O(d^2 \log^2{(n/d)} )$。