格点多胞形 $\delta$-向量的单峰性及其两个相关性质

本文研究了关于格点多胞形 $\delta$-向量单峰性的两个性质，即对数凹性（log-concavity）和交替递增性（alternatingly increasingness）。对于维数为 $d$ 的格点多胞形 $\mathcal{P}$，我们证明了若 $n > \max\{s,d+1-s\}$（其中 $s$ 为 $\mathcal{P}$ 的 $\delta$-多项式的次数），则膨胀后的格点多胞形 $n\mathcal{P}$ 具有严格对数凹且严格交替递增的 $\delta$-向量。该关于 $n$ 的界 $\max\{s,d+1-s\}$ 是合理的。我们还提供了多种单峰（或非单峰）$\delta$-向量的实例。具体而言，我们分别给出了其 $\delta$-向量非单峰、单峰但既非对数凹也非交替递增、交替递增但非对数凹、以及对数凹但非交替递增的格点多胞形示例。