多边形上各长度路径数目的单调性：例子、反例与中心极限定理
组合数学
2025-06-19 v2 概率论
摘要
为求解线性规划，单纯形方法沿多边形图中的路径进行，该路径上的线性函数值递增。该路径的长度是衡量单纯形方法复杂度的关键度量。大量前期文章聚焦于最长路径，或沿 Borgwardt 的方法，对 certain random polytopes 计算路径的平均长度。我们更精确地描述了该长度的分布，即每种长度有多少条路径。De Loera conjectured 该根据长度计数的路径数形成单调序列。我们给出例子（旧的和新的）满足该性质；但我们通过为多个多边形类构造反例来驳斥此猜想。然而，De Loera 是“从统计上正确”的：我们证明了随机多边形上一致路径长度（顶点均匀选取于球面上）满足中心极限定理。
引用
@article{arxiv.2504.20739,
title = {Unimodality of the number of paths per length on polytopes: Examples, counter-examples, and central limit theorem},
author = {Martina Juhnke and Germain Poullot},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.20739},
year = {2025}
}
备注
34 pages, 13+ figures