一类核估计量在带宽上的统一精确速率

给定一个取值于 $\RRR^{d'}\times \RRR^d$ 的独立同分布样本 $(Y_i,Z_i)$，我们考虑一组 Nadarya-Watson 核估计量，用于估计条件期望 $\EEE(<c_g(z),g(Y)>+d_g(z)\mid Z=z)$，其中 $z$ 属于紧集 $H\subset \RRR^d$，$g$ 是 $\RRR^{d'}$ 上的 Borel 函数，$c_g(\cdot),d_g(\cdot)$ 是 $\RRR^d$ 上的连续函数。给定两个满足温和条件的带宽序列 $h_n<\wth_n$，我们在密度 $f_Z$、类 $\GG$、核 $K$ 以及函数 $c_g(\cdot),d_g(\cdot)$ 满足温和条件下，获得了这些估计量在其期望值附近偏差的精确且显式的几乎必然极限界，该结果在 $g\in\GG,\;z\in H$ 和 $h_n\le h\le \wth_n$ 上是一致的。我们应用此结果证明了平滑经验似然可用于构建条件概率 $\PPP(Y\in C\mid Z=z)$ 的置信区间，该区间在 $z\in H,\; C\in \CC,\; h\in [h_n,\wth_n]$ 上一致成立。此处 $\CC$ 是一个 Vapnik-Chervonenkis 集类。