非自治演化方程的一致逼近

我们研究如下形式非自治演化方程的 $L^2$-极大正则性 \begin{equation}\label{Abstract equation} \dot u(t)+\mathcal A(t)u(t)=f(t)\ \ t\in[0,T],\ \ u(0)=u_0. \end{equation} 其中 $\mathcal A(t),\ t\in [0,T]$ 源自 Hilbert 空间 $H$ 上具常数定义域 $V\subset H$ 的非自治半双线性形式 $a(t,\cdot,\cdot)$。当 $a$ 为类型 $\alpha>1/2$ 的 Hölder 连续时，文献 \cite{Ar-Mo15} 近期证明了 $L^2$-极大正则性结果。在本文中，我们通过 \cite{ELLA13}、\cite{LASA14} 和 \cite{ELLA15} 中发展的逼近方法重新得到了相同结果。该方法使用 $\mathcal A(\cdot)$ 的适当逼近 $\mathcal A_\Lambda(\cdot)$，使得 \begin{equation}\label{Abstract equation approx} \dot u_{\Lambda}(t)+\mathcal A_{\Lambda}(t)u_{\Lambda}(t)=f(t)\ \ t\in[0,T],\ \ u_{\Lambda}(0)=u_0 \end{equation} 具有 $L^2$-极大正则性，其中 $\Lambda$ 是 $[0,T]$ 的一个细分。此外，在对连续性模作稍多假设下，我们证明了当 $|\Lambda| \rightarrow 0$ 时，(\ref{Abstract equation approx}) 的解在初值 $(u_0,f)$ 上一致地收敛于 (\ref{Abstract equation}) 在 $L^2(0,T,V)\cap H^1(0,T,H)\cap C(0,T,V)$ 中的解。