U-match 分解：稀疏同调代数、惰性循环代表元与持久（上）同调中的对偶性
代数拓扑
2021-08-23 v2 计算几何
摘要
持久同调是拓扑数据分析（TDA）中的主导工具。TDA 中的许多问题可通过同调代数——事实上线性代数——来解决。然而，该领域中的矩阵通常非常庞大，其行数与列数可达数十亿。对此类数组的低秩近似通常会破坏本质信息；因此，针对极大规模稀疏矩阵，需要新的数学与计算范式。我们提出 U-match 矩阵分解方案以应对这一挑战。U-match 具有两个理想特性。首先，它采用一种压缩存储格式，与其他常见分解相比，可将计算机内存中非零元素的数量减少一个或更多数量级。其次，它允许直接求解线性与同调代数中的各类问题，而无需解压内存中存储的矩阵。这些问题包括行与列的查找和检索；持久（上）同调中出生/死亡时间的计算与生成元的提取；以及过滤链复形的边界子空间与循环子空间基的计算。此类基是解锁 TDA 中一系列其他拓扑技术的关键，而 U-match 分解旨在使此类计算对从业者广泛可用。作为一个应用，我们表明通过全局对偶性，持久同调中的单个循环代表元可以远低于当前最先进方法的时间和内存代价被检索。此外，实现该计算所需的代数机制已存在于许多现代求解器中。
引用
@article{arxiv.2108.08831,
title = {U-match factorization: sparse homological algebra, lazy cycle representatives, and dualities in persistent (co)homology},
author = {Haibin Hang and Chad Giusti and Lori Ziegelmeier and Gregory Henselman-Petrusek},
journal= {arXiv preprint arXiv:2108.08831},
year = {2021}
}
备注
50 pages, 4 appendices; updated to fix typographical and metadata errors