Fishburn数的两个新解释及其精炼生成函数

我们证明了两类组合对象——没有递减连续数字子序列的反转表和没有2-嵌套的匹配——由Fishburn数枚举。特别地，我们给出了没有2-嵌套的匹配与没有递减连续数字子序列的反转表之间的一个简单双射。然后，我们使用对合原理证明，没有递减连续数字子序列的反转表与Fishburn数具有相同的生成函数。Fishburn数此前已被Bousquet-Mélou、Claesson、Dukes和Kitaev证明可枚举$\textbf{(2+2)}$-避免偏序集、没有左或右嵌套的匹配、避免特定模式的排列以及所谓的上升序列，并被Dukes和Parviainen证明可枚举具有非负项且无空行或空列的上三角矩阵。Claesson和Linusson猜想它们也枚举没有2-嵌套的匹配。利用这些对Fishburn数的新解释以及对合的另一版本，我们证明了Remmel和Kitaev对Fishburn生成函数的两个精炼的猜想等式（也由Jelínek和Yan使用矩阵证明）。在附录中，我们陈述并证明了Claesson和Linusson的另一个猜想，该猜想给出了所有匹配集合上左嵌套的分布。