Belnap--Dunn 逻辑上概率与信念函数的双层逻辑

本文是提交给 WoLLIC 2023 的早期版本的扩展版。我们讨论了形式化概率推理和信念函数推理的双层逻辑，该逻辑结合了取值于 $[0,1]$ 的 Łukasiewicz 逻辑及其 Baaz $\triangle$ 算子与 Belnap--Dunn 逻辑。我们考虑了两种概率逻辑，它们展示了 Belnap--Dunn 逻辑中概率的两种视角：$\pm$-概率和 $\mathbf{4}$-概率。在第一种情况下，每个事件 $\phi$ 拥有独立的正测度和负测度，分别表示 $\phi$ 和 $\neg\phi$ 的可能性。在第二种情况下，事件的测度被视为将样本划分为四个穷尽且互斥的部分，对应于代理对 $\phi$ 的纯信念、纯不信、冲突和不确定性。此外，我们还讨论了两种用于信念函数和似然函数不相容推理的逻辑。它们为事件赋予两个测度（正测度和负测度），其主要区别在于 $\phi$ 的负测度是定义为对 $\neg\phi$ 的信念，还是作为对 $\neg\phi$ 的似然度独立处理。我们提供了 $\mathbf{4}$-概率逻辑的可靠且完备的 Hilbert 风格公理化体系，并建立了其与 $\pm$-概率逻辑之间的忠实翻译。我们还表明，所有逻辑中的可满足性问题均为 $\mathsf{NP}$-完全。