两类带气穴的偏 Motzkin 路径

带气穴的 Motzkin 路径(MAP)被定义为带气穴的 Dyck 路径的推广，通过添加满足特定条件的水平步得到。本文引入两种推广。第一种由 $\Bbb{N}^2$ 中从原点出发的格点路径构成，步为 $U=(1,1)$、$D_k=(1,-k)$（$k\geq 1$）和 $H=(1,0$)，其中两个下降步不能连续；第二种为 $\Bbb{N}^2$ 中从原点出发、由步 $U$、$D_k$ 和 $H$ 构成的格点路径，其中每个步 $D_k$ 与 $H$ 必须后接一个上升步，路径最后一步除外。我们给出了这些路径关于长度、最后一步类型及其终点高度的计数结果。并对从右向左读取的这些路径作了类似研究。作为副产品，我们得到了由 Motzkin 数计数的新路径类。最后，我们用 Riordan 数组表达了结果。