真、析取与归纳

根据Kotlarski、Krajewski和Lachlan（1981）的一个著名结果，一阶皮亚诺算术$PA$可以保守地扩展为满足组合公理的真谓词理论$CT^{-}[PA]$，即真谓词在原子公式上正确并与所有命题连接词和量词交换的公理。这个结果促使我们提出一个一般性问题：确定关于真谓词的自然公理，这些公理可以添加到$CT^{-}[PA]$中，同时保持对$PA$的保守性。我们的主要结果表明，即使对于$CT^{-}[PA]$通过看似较弱的析取正确性公理$DC$（断言真谓词与任意有限大小的析取交换）的扩展，保守性也会失败。特别地，$CT^{-}[PA] + DC$蕴含$Con(PA)$。我们的主要结果表明，理论$CT^{-}[PA] + DC$等同于通过添加带真谓词语言的$\Delta_0$-归纳得到的理论$CT_0[PA]$。这个结果加强了Kotlarski（1986）和Cie\'sli\'nski（2010）的早期工作。为了证明，我们发展了Visser关于真定义无限下降链不存在定理的一种新的一般形式，并通过归约到（Löb版本的）哥德尔第二不完备定理来证明，而不是像Visser原始证明（1989）那样使用Visser-Yablo悖论。