面向数据流与滑动窗口的真正完美采样器

在 $G$-采样问题中，目标是输出向量 $f \in\mathbb{R}^n$ 的索引 $i$，使得对所有坐标 $j \in [n]$，$$\textbf{Pr}[i=j] = (1 \pm \epsilon) \frac{G(f_j)}{\sum_{k\in[n]} G(f_k)} + \gamma,$$ 其中 $G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ 为某非负函数。若 $\epsilon = 0$ 且 $\gamma = 1/\text{poly}(n)$，则称该采样器为完美的。在数据流模型中，$f$ 由其坐标上的更新序列隐式定义，目标是在小空间内设计此类采样器。Jayaram 与 Woodruff（FOCS 2018）给出了转门流中首个完美的 $L_p$ 采样器，其中 $G(x)=|x|^p$，对 $p\in(0,2]$ 使用 $\text{polylog}(n)$ 空间。然而，迄今所有已知采样算法并非真正完美，因其输出分布仅在点态上以 $\gamma = 1/\text{poly}(n)$ 接近真实分布。当采样器在流的连续片段上多次运行时，这一小误差可能显著，并泄露关于数据流的潜在敏感信息。本文中，我们开启了对真正完美采样器（即 $\epsilon = \gamma = 0$）的研究，并全面探究其在数据流与滑动窗口模型中的复杂度。摘要因 arXiv 限制被截断；完整摘要请参阅论文。