三角同伦等价

映射$f:X\to Y$到单纯复形$Y$被称为$Y$-三角同伦等价，如果它具有同伦逆$g$以及同伦$h_1:f\circ g\simeq \mathrm{id}_Y$，$h_2:g\circ f\simeq \mathrm{id}_X$，使得对于所有单纯形$\sigma\in Y$，限制映射$f|_\sigma:f^{-1}(\sigma) \to \sigma$是一个同伦等价，其逆为$g|_\sigma:\sigma \to f^{-1}(\sigma)$，并具有同伦$h_1|_\sigma$和$h_2|_\sigma$。在本文中，我们证明了对于所有有限维局部有限单纯复形对$X,Y$，存在一个$\epsilon(X,Y)>0$，使得任何满足$\epsilon<\epsilon(X,Y)$的$\epsilon$-控制同伦等价$f:X\to Y$都同伦于一个$Y$-三角同伦等价。反之，我们猜想可以通过寻找一个同伦的$(Sd\, Y)$-三角同伦等价来“细分”一个$Y$-三角同伦等价，从而$Y$-三角同伦等价将同伦于任意$\epsilon>0$的$\epsilon$-控制同伦等价。