给定度序列图上的三角形过程

切换链(switch chain)是一种被广泛研究的马尔可夫链,它生成给定度序列的随机图并具有均匀的平稳分布。受一些真实世界网络中观测到的大量三角形启发,我们研究切换链的一个变体,它更有可能产生具有更多三角形数量的图。具体而言,我们采用一种 Metropolis 方案,其平稳分布设计如下:图 $G$ 的概率正比于 $\lambda^{\min\{t(G),\nu\}}$,其中 $t(G)$ 是 $G$ 中三角形的数量,$\nu$ 是一个截断值,用于减弱具有极多三角形数量的图的影响。我们假设“活跃度” $\lambda$ 满足 $\lambda\geq 1$,并将所得链称为修正 Metropolis 切换链。我们证明,只要(标准)切换链快速混合,且活跃度与最大度不太大,修正 Metropolis 切换链就是快速混合的。三角形切换(或称“$\triangle$-切换”)链是切换链的一种限制,它只执行改变图中三角形集合的切换。我们证明对于任意最小度至少为 3 的度序列,$\triangle$-切换链是不可约的,并给出了修正 Metropolis $\triangle$-切换链的一个快速混合结果。最后,我们研究了在给定度数的随机图中,在均匀分布以及图 $G$ 的概率正比于 $\lambda^{t(G)}$ 的分布下,三角形的分布。我们的分析表明,在多项式多步内,截断 $\nu$ 的引入并未显著改变这些修正 Metropolis 链的行为。