迈向扩展拉格朗日分子动力学的尖锐误差分析

扩展拉格朗日分子动力学（XLMD）方法为降低一类带有约束潜变量的分子动力学模拟的计算成本提供了有用框架。XLMD 方法通过为潜变量引入虚构质量 $\varepsilon$ 来松弛约束，求解一组奇异摄动常微分方程。尽管过去十年中 XLMD 在若干不同背景下已展现出良好的数值性能，其数学分析仍十分匮乏。我们在经典可极化力场模型背景下提出首个 XLMD 方法的误差分析。尽管关于原子自由度的动力学是一般且非线性的，该可极化力场模型的关键数学简化在于潜变量上的约束由线性方程组给出。我们证明，当潜变量的初值在某种我们定义的意义下相容时，随着虚构质量 $\varepsilon$ 取小，XLMD 收敛，且当潜变量维数 $d'$ 为 1 时，原子自由度误差为 $\mathcal{O}(\varepsilon)$，潜变量误差为 $\mathcal{O}(\sqrt{\varepsilon})$。进一步，当潜变量初值在某种意义下改进为最优相容时，我们证明潜变量的收敛速率亦可提升至 $\mathcal{O}(\varepsilon)$。数值结果验证了上述估计不仅对 $d' =1$ 而且对任意 $d'$ 均为尖锐的。在一般 $d'$ 设定下，我们确实得到收敛，但原子与潜变量均以非尖锐速率 $\mathcal{O}(\sqrt{\varepsilon})$ 收敛。