环面棋盘与码覆盖

我们用 $\mathbb{F}_q$ 表示含 $q$ 个元素的域。以 $\mathbb{F}_q^3$ 的 $1$ 维向量子空间 $V$ 为中心、半径为 $r$ 的扩展球，是指 $\mathbb{F}_q^3$ 中与 $V$ 的汉明距离至多为 $r$ 的元素集合。我们定义 $c(q)$ 为用半径为 $1$ 的扩展球对 $\fqt$ 进行最小覆盖的大小。我们定义半后（semiqueen）为环面棋盘上的一个棋子，其通过所包含的西南-东北对角线扩展了车的覆盖范围。令 $\xi_D(n)$ 为 $n\times n$ 环面棋盘上覆盖整个棋盘（可能除西南-东北对角线外）所需的最少半后数量。我们证明，对于 $q\ge 7$，有 $c(q)=\xi_D(q-1)+2$。此外，我们的证明展示了一种由棋盘的半后覆盖构造 $\mathbb{F}_q^3$ 此类覆盖的方法。利用这一新方法，我们确定了 $q$ 为奇数时的 $c(q)$，并改进了偶数情况下的两个现有界。