覆盖半径 3 与余维 3t+1 的覆盖码新界

覆盖半径为 $R$、余维（冗余）为 $r$ 的 $q$ 元线性码的最小可能长度称为长度函数，记作 $\ell_q(r,R)$。本文中，对 $q$ \emph{任意素数的幂}，我们得到关于 $\ell_q(3t+1,3)$ 的如下新构造上界：$\ell_q(r,3)\lessapprox \sqrt[3]{k}\cdot q^{(r-3)/3}\cdot\sqrt[3]{\ln q},~r=3t+1, ~t\ge1, ~ q\ge\lceil\mathcal{W}(k)\rceil, 18 <k\le20.339,~\mathcal{W}(k)\text{ 为 }k\text{ 的递减函数} ;$ $\ell_q(r,3)\lessapprox \sqrt[3]{18}\cdot q^{(r-3)/3}\cdot\sqrt[3]{\ln q},~r=3t+1,~t\ge1,~ q\text{ 足够大}。$ 对 $t = 1$，我们利用覆盖半径 3、余维 4 的码与射影空间 $\mathrm{PG}(3,q)$ 中 2-饱和集之间的一一对应。提出了一种给出小尺寸集合的新构造。由几何方法获得的码作为提升构造（所谓“$q^m$-并置构造”）的起始码，从而得到半径 3、余维渐增 $r = 3t + 1$、$t\ge1$ 的无穷码族。新界本质上优于已知界。