最大 k-覆盖、唯一集合覆盖及相关问题的强不可近似性的紧运行时间下界（通过 t--wise 一致性测试定理）

我们证明，在假设（随机化）间隙指数时间假设（Gap-ETH）的前提下，以下任务无法在 $T(k) \cdot N^{o(k)}$ 时间内完成（对任意函数 $T$，其中 $N$ 表示输入规模）： - 对任意 $\epsilon > 0$，Max $k$-Coverage 的 $\left(1 - \frac{1}{e} + \epsilon\right)$-近似， - 对任意常数 $\epsilon > 0$，（一般度量下）$k$-Median 的 $\left(1 + \frac{2}{e} - \epsilon\right)$-近似， - 对任意常数 $\epsilon > 0$，（一般度量下）$k$-Mean 的 $\left(1 + \frac{8}{e} - \epsilon\right)$-近似， - $k$-Unique Set Cover、$k$-Nearest Codeword Problem 和 $k$-Closest Vector Problem 的任意常数因子近似， - 对某个 $\delta > 0$，$k$-Minimum Distance Problem 和 $k$-Shortest Vector Problem 的 $(1 + \delta)$-近似。由于这些问题可平凡地在 $N^{O(k)}$ 时间内求解，我们的运行时间下界本质上是紧的。在近似比方面，Max $k$-Coverage 已知具有多项式时间 $\left(1 - \frac{1}{e}\right)$-近似算法；且最近研究表明，$k$-Median 和 $k$-Mean 可在 FPT 时间内分别近似到 $\left(1 + \frac{2}{e}\right)$ 和 $\left(1 + \frac{8}{e}\right)$ 的因子内 [Cohen-Addad et al. 2019]；因此，我们对这三个问题的不可近似比是紧的。对其余问题，尚无已知的非平凡 FPT 近似算法。上述所有困难结果的起点是带投影约束的标签覆盖（Label Cover）问题。我们证明 Label Cover 无法在 $T(k) \cdot N^{o(k)}$ 时间内近似到任意常数因子，其中 $N$ 和 $k$ 分别表示输入规模和字母表较大一侧的节点数。借助此困难性，上述结果由已知归约立即得出……