Voronoigram：基于散乱数据的有界变差函数极小极大估计

我们考虑从随机设计点 $x_i \in \mathbb{R}^d$（$i=1,\ldots,n$）处的含噪观测 $y_i = f_0(x_i) + z_i$ 估计有界变差（BV）多元函数 $f_0$ 的问题。我们研究一种估计量：它先构建设计点的 Voronoi 图，然后求解一个依据某种离散全变差（TV）概念进行正则化的优化问题——该离散 TV 为所有 Voronoi 图中相邻单元 $i,j$ 的参数 $\theta_i,\theta_j$（用于估计函数值 $f_0(x_i),f_0(x_j)$）的加权绝对差之和。可见，一旦将定义域限制为在 Voronoi 图上分段常值的函数，这就等价于一个依据通常的连续统（测度论）TV 概念正则化的变分优化问题。所考虑的回归估计量因而在自适应形成的 Voronoi 单元并集上执行（收缩的）局部平均，我们遵循 Koenker (2005) 的思想并受 Tukey 的 regressogram（Tukey, 1961）启发，称之为 Voronoigram。我们在本文的贡献涵盖概念与理论前沿：我们讨论了 Voronoigram 相较于使用其他基于图离散化的 TV 正则化估计量的若干独特性质；推导了 Voronoi TV 泛函的渐近极限；并证明了 Voronoigram 在估计本质有界 BV 函数时是极小极大速率最优的（相差对数因子）。