序域在纠错码构造中的普遍性
交换代数
2008-03-24 v2 信息论
代数几何
math.IT
环与代数
摘要
序域是一类由 H{\o}holdt、van Lint 和 Pellikaan 引入的交换环，旨在利用代数几何的思想简化纠错码理论。其定义很大程度上受 Berlekamp-Massey-Sakata（BMS）解码算法中所用结构的启发，并结合用于未知伴随式的 Feng-Rao 多数投票，应用于由曲线构造的单点几何 Goppa 码。然而，序域要更为一般；O'Sullivan 已证明 BMS 算法可通过对曲线的 Goppa 过程作适当推广，解码所有由序域构造的码。在本文中，我们首先讨论序域与有限域上函数域的赋值之间的联系。在某些温和条件下，我们将看到有限域上的一般射影簇具有射影模型，可用于构造序域以及适用 BMS 算法的 Goppa 型码。随后我们借助 Gr"obner 基理论给出 Geil 和 Pellikaan 关于序域的外在刻画的稍许不同的解释，并说明其结果等同于簇的环面形变的存在性。为阐明这些观察的潜在用处，我们给出一系列与有限域上具有许多有理点的簇相关的序域新显式例子：Hermitian 超曲面、Grassmann 簇与旗簇。
引用
@article{arxiv.math/0304292,
title = {The Ubiquity of Order Domains for the Construction of Error Control Codes},
author = {John B. Little},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0304292},
year = {2008}
}
备注
21 pages; AMS-LaTeX. The statement of Theorem (3.3) in the original version (renumbered to Theorem 2 in this version) omitted a necessary hypothesis, which is now added in this version