正齐次函数的对称系数

Bregman 距离是凸优化中重要的工具，尤其在一阶梯度下降和诱导方法中应用。这类方法能够通过相对于参考函数 h 的相对光滑性来优化无 Lipschitz 连续梯度的函数。确定 Bregman 方案中允许步长的完整范围的关键因素是参考函数 h 的对称系数 $\alpha(h)$。虽然已确定特定函数 h 的显式值，但一般性描述仍然缺乏。本文探讨两个问题：($\textit{i}$) 推导对称系数的微积分规则；$\textit{ii}$) 计算 $\alpha(\lVert\cdot\rVert_2^p)$ 的值。我们给出正齐次 Legendre 函数之和对称系数的上、下界，并在特定条件下给出精确公式。进一步证明 $\alpha(\lVert\cdot\rVert_2^p)$ 与维数无关，提出高效算法计算其值。我们还证明 $\alpha(\lVert\cdot\rVert_2^p)$ 渐近等于且被函数 $1/(2p)$ 下界，这为 Bregman 方案中的步长提供更简洁的上界。最后，我们给出特定情形（如 $p \in \{6,8,10\}$）的闭式计算结果。