正三元二次多项式对整数的表示

一个整系数二次多项式被称为正则的（regular），如果它表示了每一个被该多项式本身在实数上以及对于每个素数$p$在$p$-进整数上所表示的整数。如果它具有形式$Q({\mathbf x} + {\mathbf v})$，其中$Q$是变量${\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)$的整二次型，${\mathbf v}$是${\mathbb Q}^n$中的向量，则称其为完全的（complete）。其导子（conductor）定义为最小的正整数$c$使得$c{\mathbf v} \in {\mathbb Z}^n$。我们证明，对于固定的正整数$c$，具有导子$c$的正原三元正则完全二次多项式只有有限多个等价类。这推广了Watson关于正定正则三元二次型以及Chan和Oh关于三元三角形式的类似有限性结果。