多步 Vizing 链的力量
摘要
近期论文 [Ber'2022]、[GP'2020]、[DHZ'2019] 通过连接或粘合多条 Vizing 链以形成 Bernshteyn [Ber'2022] 所称的\emph{多步 Vizing 链}，解决了 (\Delta + 1)-边着色问题的不同变体。本文中，我们给出了该术语稍更一般的定义。随后，我们应用多步 Vizing 链构造来证明边着色的组合性质，从而得到跨不同计算模型计算边着色的（改进）算法。该方法在构造满足某种局部性概念的增广子图时似乎尤为强大。首先，我们构造严格局部的多步 Vizing 链，并用其证明 Vizing 定理的局部版本，从而证实了 Bonamy、Delcourt、Lang 和 Postle [BDLP'2020] 近期的一个猜想。我们的证明是构造性的，并隐含了计算此种着色的算法。接着，我们证明对任意未着色边均存在大小为 O(\Delta^{7}\log n) 的增广子图，回答了 Bernshteyn [Ber'2022] 的一个开放问题。Chang、He、Li、Pettie 和 Uitto [CHLPU'2018] 给出了此类增广子图大小的 \Omega(\Delta \log \frac{n}{\Delta}) 下界，因此上界在 \Delta 与常数因子范围内是紧的。这些思想也推广得到一种更快的确定性 LOCAL 算法，用于 (\Delta + 1)-边着色，运行时间为 \tilde{O}(\poly(\Delta)\log^6 n) 轮。这些结果改进了 Bernshteyn [Ber'2022] 近期的突破性结果，其证明了大小为 O(\Delta^6\log^2 n) 的增广子图的存在性，并借此给出了首个在 LOCAL 模型中运行时间为 O(\poly(\Delta, \log n)) 轮的 (\Delta + 1)-边着色算法。……（摘要剩余部分见论文）
引用
@article{arxiv.2210.07363,
title = {The Power of Multi-Step Vizing Chains},
author = {Aleksander B G Christiansen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.07363},
year = {2023}
}
备注
42 pages, 5 figures