Vizing 平面图边着色定理的 $O(n\log n)$ 时间算法

1965 年,Vizing [Diskret. Analiz, 1965] 证明了每个最大度 $\Delta\ge 8$ 的平面图可以用 $\Delta$ 种颜色进行边着色。直接实现 Vizing 的证明可以得到一个算法,对于 $n$ 个顶点的输入图,该算法在 $O(n^2)$ 时间内找到着色方案。Chrobak 和 Nishizeki [J. Algorithms, 1990] 给出了一个更精细的算法,将时间改进到 $O(n\log n)$,但仅适用于 $\Delta\ge 9$。在本文中,我们扩展了他们的思想,得到了一个也适用于缺失情况 $\Delta=8$ 的算法。为此,我们修改了 Vizing 的原始重着色过程。该结果可推广到有界亏格图。