enrichment 范畴的 oplax 极限

我们证明了形如 $\mathscr{B}\mbox{-}\mathbf{Cat}$ 的 2-范畴在取切片下是封闭的,前提是允许 $\mathscr{B}$ 取遍双范畴(而非例如幺半范畴)。即,对任意 $\mathscr{B}$-范畴 $\mathbb{X}$,我们定义一个双范畴 $\mathscr{B}/\mathbb{X}$,使得 $\mathscr{B}\mbox{-}\mathbf{Cat}/\mathbb{X}\cong (\mathscr{B}/\mathbb{X})\mbox{-}\mathbf{Cat}$。该双范畴 $\mathscr{B}/\mathbb{X}$ 被刻画为 $\mathbb{X}$ 的 oplax 极限,其中 $\mathbb{X}$ 被视为从混沌范畴到 $\mathscr{B}$ 的 lax 函子,位于双范畴、lax 函子与 icons 构成的 2-范畴 $\mathbf{BICAT}$ 中。我们通过 2-函子 $\mathbf{BICAT}\to 2\mbox{-}\mathbf{CAT}$ 的极限保持性质从概念上证明了这一点,该 2-函子将每个双范畴 $\mathscr{B}$ 映射到 2-范畴 $\mathscr{B}\mbox{-}\mathbf{Cat}$。当 $\mathscr{B}$ 满足温和的局部完备性条件时,我们还证明了同构 $\mathscr{B}\mbox{-}\mathbf{Cat}/\mathbb{X}\cong (\mathscr{B}/\mathbb{X})\mbox{-}\mathbf{Cat}$ 可限制为 $\mathscr{B}\mbox{-}\mathbf{Cat}$ 中 over $\mathbb{X}$ 的纤维化与一侧承认某些幂的 $\mathscr{B}/\mathbb{X}$-范畴之间的对应。