平移不变核 HSIC 估计的极小化极大速率

核技术是数据科学和统计学中最具影响力的方法之一。在温和条件下，与核相关的再生核 Hilbert 空间能够编码 $M\ge 2$ 个随机变量的独立性。依赖核的最普遍的独立性度量可能是所谓的 Hilbert-Schmidt 独立性准则（HSIC；在统计学文献中也称为距离协方差）。尽管自其约二十年前提出以来已有多种 HSIC 估计器，但关于 HSIC 能以何种速率被估计的基本问题仍未解决。在本工作中，我们证明了在 $\mathbb R^d$ 上，对于包含高斯分布的 Borel 测度以及连续有界平移不变特征核，HSIC 估计的极小化极优速率为 $\mathcal O\!\left(n^{-1/2}\right)$。具体而言，我们的结果意味着许多最常用的估计器（包括 U-统计量、V-统计量和基于 Nystr"om 的估计器）在 $\mathbb R^d$ 上具有极小化极大意义下的最优性。