非线性测量下的 LASSO 等价于线性测量下的 LASSO

考虑从 $m$ 个测量值 $y_i=g_i(a_i^Tx_0)$ 中估计未知但结构化的信号 $x_0\in R^n$，其中 $a_i$ 是已知测量矩阵 $A$ 的行，$g$ 是一个（可能未知的）非线性和随机链接函数。此类测量函数可能出现在测量设备具有非线性和不确定性的应用中，也可能由设计产生，例如 $g_i(x)=\text{sign}(x+z_i)$ 对应于有噪 1-bit 量化测量。受 Brillinger 的经典工作以及 Plan 和 Vershynin 近期工作的启发，我们通过求解广义 LASSO (Generalized-LASSO) 来估计 $x_0$，其中使用某个正则化参数 $\lambda>0$ 和某个（通常非光滑的）凸结构诱导正则化函数。尽管该方法看似朴素地忽略了非线性函数 $g$，但 Brillinger（在无约束情形下）与 Plan 和 Vershynin 均已证明，当 $A$ 的条目为独立同分布标准高斯时，这是 $x_0$ 的一个良好估计，直至一个仅依赖于 $g$ 的比例常数 $\mu$。本工作中，我们通过获得正则化 LASSO 的平方误差的显式表达式，大幅加强了这些结果，这些表达式在 $m$ 和 $n$ 趋于大时渐近精确。一个主要结果是，具有非线性测量的广义 LASSO 的估计性能渐近等同于测量为线性的情形 $y_i=\mu a_i^Tx_0 + \sigma z_i$，其中 $\mu = E\gamma g(\gamma)$ 且 $\sigma^2 = E(g(\gamma)-\mu\gamma)^2$，$\gamma$ 为标准高斯变量。据我们所知，所推导的关于估计性能的表达式是此背景下首个已知的精确结果。我们结果的一个有趣推论是，使 LASSO 估计误差最小的最优测量量化器是著名的 Lloyd-Max 量化器。