Hall–Paige猜想以及仿射与对角群的可同步性

Hall–Paige猜想断言，有限群具有完全映射当且仅当其Sylow子群非循环。该猜想现已被证明，本文的一个目的是记录证明的最后一步（针对散在单群 $\mathrm{J}_4$）。我们应用该结果证明，在基柱中含有三个或更多单因子的简单对角型本原置换群是不可同步的。我们还给出了更简单的证明：对于仿射型群，或具有两个基柱因子的简单对角型群，同步与分离是等价的。同步与分离是置换群上比本原性更强但比 $2$-齐性更弱的条件，其中后者比前者更强。经验上发现，同步但不可分离的群相当罕见。由我们的结果可知，此类群必为几乎单型的本原群。