旗中位数与 FlagIRLS

为数据集寻找原型（例如均值与中位数）是许多常见机器学习算法的核心。子空间已被证明能为图像、视频等数据集提供有用且鲁棒的表示。由于子空间对应于 Grassmann 流形上的点，这引出了对 Grassmann 值数据集考虑子空间原型的想法。尽管已有若干不同的子空间原型被描述，但其中一些原型的计算被证明计算代价高昂，而另一些原型受离群点影响并在含噪数据上产生高度不完美的聚类。本文提出一种新的子空间原型，即旗中位数（flag median），并引入用于其计算的 FlagIRLS 算法。我们提供的证据表明，旗中位数对离群点鲁棒，并可在如 Linde-Buzo-Grey（LBG）等算法中有效使用，以在 Grassmann 流形上产生改进的聚类。数值实验包括合成数据集、MNIST 手写数字数据集、Mind's Eye 视频数据集和 UCF YouTube 动作数据集。将旗中位数与 Grassmann 流形上计算原型的其他主流算法进行比较，即 $\ell_2$-中位数与旗均值（flag mean）。我们发现使用 FlagIRLS 计算旗中位数在合成数据集上于 $4$ 次迭代内收敛。我们还看到，在 Mind's Eye 数据集上，使用码本大小为 $20$ 且采用旗中位数的 Grassmannian LBG 相比使用旗均值或 $\ell_2$-中位数的 Grassmannian LBG，在聚类纯度上至少提升 $10\%$。