单点连通化空间的存在性

P. Alexandroff 证明了：一个局部紧的 $T_2$ 空间具有 $T_2$ 单点紧化（通过添加一个“无穷远点”得到）当且仅当它是非紧的。他还提出了对具有单点连通化的空间进行刻画的问题。本文研究单点连通化，并类比 Alexandroff 定理证明：在 $T_i$ 空间（$i=3\frac{1}{2},4,5$）中，一个局部连通空间具有单点连通化当且仅当它不含紧分支。我们在某种集合论假设下将该定理推广到 $i=6$ 的情形，并通过略微修改表述推广到 $i=2$ 的情形。我们进一步推广该定理，证明局部连通的可度量化（相应地为仿紧）空间具有可度量化（相应地为仿紧）的单点连通化当且仅当它不含紧分支。与单点紧化不同，单点连通化若存在则可能不唯一。我们考虑在 $T_i$ 空间（$i=3\frac{1}{2},4,5$）中局部连通局部紧空间的全体单点连通化构成的集合。我们证明该集合在自然偏序下是一个紧的条件完备格，其序结构决定了该空间各分支的所有 Stone-Cech 余部的拓扑。