具有粗糙系数的 Kolmogorov-Fokker-Planck 型方程的 Dirichlet 问题

我们在形式为 $U_X\times V_{Y,t}$ 与 $\Omega\times \mathbb R^{m}\times \mathbb R$ 的有界及无界 Lipschitz 型柱体中，建立了强退化抛物算子 $$\mathcal{L}:= \nabla_X\cdot(A(X,Y,t)\nabla_X)+X\cdot\nabla_Y-\partial_t,$$ 的 Cauchy-Dirichlet 问题弱解的存在唯一性，其中假设 $A=A(X,Y,t)=\{a_{i,j}(X,Y,t)\}$ 是一个实 $m\times m$ 矩阵值的可测函数，使得 $A(X,Y,t)$ 对称、有界且一致椭圆。随后我们求解了连续 Dirichlet 问题，并利用相关的抛物测度建立了解的表示。通过我们近期的研究 arXiv:2012.03654、arXiv:2012.04278、arXiv:2012.07446，本文的动机源于对 Lipschitz 型区域中算子 $\mathcal{L}$ 的 Dirichlet 问题获得更深入理解的需求与兴趣的不断增长。我们结果背后的关键思想在于，沿 Brezis 与 Ekeland 的思路，特别是遵循 S. Armstrong 与 J-C. Mourrat 关于动力学 Fokker-Planck 方程变分方法的最新工作 arXiv:1902.04037，证明该解可作为一致凸泛函的极小元获得。