通过 Kashaev 量子化实现的 Ptolemy-Thompson 群的双对数中心扩张

通用 Teichm"uller 空间的量子化提供了 Ptolemy-Thompson 群（同构于 Thompson 群 $T$）的射影表示。这产生了 $T$ 由 $\mathbb{Z}$ 扩张的某些中心扩张，称为双对数中心扩张。我们计算了由 Kashaev 量子化产生的 $T$ 的双对数中心扩张 $\hat{T}^{Kash}$ 的展示，并表明它对应于 $H^2(T;\mathbb{Z})$ 中 Euler 类的 $6$ 倍。同时，Funar-Kapoudjian 的辫状 Ptolemy-Thompson 群 $T^*$、$T^\sharp$ 是 $T$ 由无限辫群 $B_\infty$ 的扩张，通过对核 $B_\infty$ 进行阿贝尔化，可以构造 $T$ 由 $\mathbb{Z}$ 的中心扩张 $T^*_{ab}$、$T^\sharp_{ab}$，它们具有拓扑性质。我们证明了 $\hat{T}^{Kash}\cong T^\sharp_{ab}$。我们的结果类似于 Funar 和 Sergiescu 的结果，他们计算了由 Chekhov-Fock(-Goncharov) 量子化产生的另一个双对数中心扩张 $\hat{T}^{CF}$ 的展示，从而表明它对应于 Euler 类的 $12$ 倍，且 $\hat{T}^{CF} \cong T^*_{ab}$。此外，我们在射影表示层面上提出了两种量子化之间的自然关系。